Question

f(x)是定义在R上的偶函数，当<0时，f(x)+xf'(x)<0,且f(-4)=0,也则不等式xf(x)> 0的解集（ ） 怎样...

f(x)是定义在R上的偶函数，当<0时，f(x)+xf'(x)<0,且f(-4)=0,也则不等式xf(x)> 0的解集（ ） 怎样利用图像求解？或者其它方法？

Answer 1

设F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x),
在(-∞，0)上：F'(x)<0,则F(x)是减函数
f(-4)=0,则F(x)>0的解为x<-4,又由于f(x)是定义在R上的偶函数，根据对称性，
所以在(0，+∞）上：F(x)>0的解为x>4,综合起来：解集：(-∞，-4)并(4,+∞）

Answer 2

令g(x)=xf(x)
则得到:
<1>g'(x)=f(x)+xf'(x)
<2>g(-4)=-4f(-4)=0
<3>g(x)是奇函数

于是题目变为:
g(x)是奇函数.当x<0时，g'(x)<0,且g(-4)=0,求g(x)>0的解集。
f(-4)=0,则g(x)>0的解为x<-4,又由于f(x)是定义在R上的偶函数，根据对称性，
所以在(0，+∞）上：g(x)>0的解为x>4,综合起来：解集：(-∞，-4)并(0,4）
画图很容易得到：