Question

高一幂函数的题目~！

已知幂函数y=f(x)是偶函数且在区间（0，正无穷）上单调递增，若f(a^2-1)<f(2a^2+a+1)，则实数a的取值范围是？

函数y=f(x)可以写成若干个幂函数的和的形式，切在x属于（0，正无穷）上有最小值6，这个函数可以是？

最好有过程啊！
第二题不是接上题的

Answer 1

（1）解答：
f(x)是偶函数，f(a^2-1)<f(2a^2+a+1)，
所以:|a^2-1|<|2a^2+a+1|,
其中2a^2+a+1恒大于0，
（1）a^2-1小于等于0时即-1≤a≤1，则1-a^2＜2a^2+a+1则a＞0或a＜-1/3，
解之-1≤a＜-1/3和0＜a≤1
（2）a^2-1大于0时即a＞1或a＜-1，则a^2-1＜2a^2+a+1则a＞1或a＜-2，
解之a＞1和a＜-2
实数a的取值范围为（-无穷大，-2）并（-1，-1/3）并（0，无穷大）
（2）解答：
型如如下形式的函数都满足要求
y=(x+n1)(x+n2)(x+n3)……(x+ni)x+6,(其中ni是大于0的实数)
所以可以举出无数个例子（包括楼上的例子）：
y=(x+2)(x+4)(x+90)x+6
y=(x+√2)(x+√3)(x+√7)(x+√11)x+6

Answer 2

因为2a^2+a+1恒大于0，
当a^2-1小于等于0时即-1≤a≤1，那么1-a^2＜2a^2+a+1那么a＞0或者a＜-1/3，
那么-1≤a＜-1/3和0＜a≤1
当a^2-1大于0时即a＞1或a＜-1，那么a^2-1＜2a^2+a+1那么a＞1或者a＜-2，
那么a＞1和a＜-2
实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（-1，-1/3）∪（0，∞）

Answer 3

由幂函数y=f(x)是偶函数，可得该函数关于Y轴对称（建议画一草图辅助分析），又2a^2+a+1恒大于0，所以要满足表达式，应有如下条件：
a^2-1≤0且2a^2+a+1>a^2-1
或
a^2-1≥0且a^2-1>-(2a^2+a+1)
求解得
a<-1/3或a>0

上二位的“a^2-1＜2a^2+a+1则a＞1或a＜-2”解错了
这个式子是恒成立的

第二题：
首先读懂题目意思：题目中说“函数y=f(x)可以写成若干个幂函数的和的形式”，什么是幂函数，这个先搞清楚，从这句话不难看出该函数并无常数项；再看看这句“且在x属于（0，正无穷）上有最小值6”，注意这个范围不包括0。
然后我们再分析幂函数性质：幂函数分过原点和不过原点两种。例如，y=x就过原点，而y=1/x则不过。假设该函数过原点，则由函数的连续性得函数值必有从0到6中的值，这与“最小值为6”相冲突，故该假设不成立。所以，该函数不过原点，且其中必定有x的指数为负数的项（譬如1/x）。而x的指数为负数的幂函数不是单调递增就是单调递减，且函数又无常数项，怎么能在一个开区间取得最小值，且该值还为正数？难道有x指数为正数的项？像x这样的？试试看。
最后，经过这么多分析，我们取一个特例，f(x)=3(x+1/x)，可知该函数在x=1处有最小值6，符合题意