Question

初二数学相思

Answer 1

第一个问题：
△HAB∽△HGD∽△AGC。
［证明］
∵△ABC、△DEF都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DEF＝90°，
∴∠HBA＝∠HDG＝∠ACG＝45°。

由三角形外角定理，有：∠H＋∠HDC＝∠ACG＝45°，显然：∠CAG＋∠HDC＝∠HDG＝45°。
∴∠H＋∠HDC＝∠CAG＋∠HDC，∴∠H＝∠CAG。

由∠HBA＝∠ACG、∠H＝∠CAG，得：△HAB∽△AGC。
由∠HDG＝∠ACG、∠H＝∠CAG，得：△HGD∽△AGC。

第二个问题：
过A作AM⊥BC交BC于M。
∵AB＝AC＝9、AB⊥AC，∴BC＝9√2。
∵AB＝AC、AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC/2＝9√2/2。
由题设，CG＝x，∴GM＝CM－CG＝9√2/2－x。
∵AB⊥AC、CM＝BC/2，得：AM＝BC/2＝9√2/2。
∴由勾股定理，有：AG^2＝AM^2＋GM^2＝81/2＋（9√2/2－x）^2＝81－9√2x＋x^2。

∵△HGD∽△AGC，∴HGA∽AGC，∴HG/AG＝AG/CG，
∴HG＝AG^2/CG＝（81－9√2x＋x^2）/x。
∴y＝BH＝BG＋HG＝BM＋GM＋HG＝9√2/2＋9√2/2－x＋（81－9√2x＋x^2）/x，
∴y＝9√2－x＋（81－9√2x＋x^2）/x。

第三个问题：
∵HGA∽AGC，∴要使△AGH为等腰三角形，就需要△AGC为等腰三角形。
显然，当x＝BC/2＝9√2/2时，有AG＝CG。
∴当x＝9√2/2时，△AGH为等腰三角形。