Question

数列压轴题

已求得an=(n-2)(n-1),若a3a5/a4^2+a4a6/a5^2+...+ana(n+2)/a(n+1)^2>a根号n+2 对一切不小于3的自然数n恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(n-2)(n-1)(n)(n+1)/((n-1)(n))^2=(n-2)(n+1)/((n-1)n)
=(n^2-n-2)/(n^2-n)=1-2/(n(n-1))=1-2(1/(n-1)-1/n)
a3a5/a4^2+a4a6/a5^2+...+ana(n+2)/a(n+1)^2=(n-2)-2(1/2-1/n)
则有(n-2)-2(1/2-1/n)=(n-2)-(1-2/n)=n-3+2/n>a根号n+2 (还是根号（n+2）?)

追问

根号（n+2）

追答

n-3+2/n>a根号（n+2）
(n+2/n-3)/根号（n+2）>a
设f(n)=(n+2/n-3)/根号（n+2）
设f'(n)=((1-2/n^2)根号（n+2）-(n+2/n-3)*(n+2)^(-1/2))/(n+2)＝0
(1-2/n^2)根号（n+2）-(n+2/n-3)*(n+2)^(-1/2)=0
(1-2/n^2)*(n+2)=(n+2/n-3)
n+2-2/n-4/n^2=n+2/n-3
4/n-5+4/n^2=0
5n^2-4n-4=0
解得n=(4+根号（96））/10 或(4-根号（96））/10 得到n=3时，f(n)是单调增
所以 当n=3时 有a<2根号5/15

Answer 2

ana(n+2)/a(n+1)^2=1—2/n(n-1)
所以Sn=n-2—2×(1/2-1/n)=n+2/n-3>a√n+2
a<(n+2/n-3)/√n+2
右边的式子单调增所以a<2√5/15