Question

如图20所示，在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4

如图20所示，在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，线段AC上一动点P（P与A、C不重合），过点P作PQ//AB交BC于点Q。（1）当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。（3）在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求PQ的长。

Answer 1

（1）三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，则角C=90，并且，三角形ABC面积为6，一半为3，设CP=x，三角形PQC的面积=1/2*x*(3/4)x=3,CP=4分之根号2
（2）设CP=x,CQ=3/4x,PQ=5/4x,AP=4-x,BQ=3-(3/4)x,三角形PQC的周长=x+3/4x+5/4x=3x,四边形PABQ的周长=(4-x)+5+(3-(3/4)x)+(5/4)x=12-(1/2)x,两者相等，求x=24/5
(3)若角QMP为直角，则PM=QM不可能
由于AC>AB，所以只有可能是QPM为直角，应该存在有些难算，我写下思路，自己去算，设CP=x,PQ=5/4x由于等腰直角，QM=5/4倍的根号2，且两锐角为45，三角形BQM中，BQ QM已知，角B已知，余弦定理求BM（用x表示）；三角形MPA中，MP AP已知，角A已知，求AM（用x表示），AM+BM=5，求出x

Answer 2

1）三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，则角C=90，并且，三角形ABC面积为6，一半为3，设CP=x，三角形PQC的面积=1/2*x*(3/4)x=3,CP=4分之根号2
（2）设CP=x,CQ=3/4x,PQ=5/4x,AP=4-x,BQ=3-(3/4)x,三角形PQC的周长=x+3/4x+5/4x=3x,四边形PABQ的周长=(4-x)+5+(3-(3/4)x)+(5/4)x=12-(1/2)x,两者相等，求x=24/5
(3)若角QMP为直角，则PM=QM不可能
由于AC>AB，所以只有可能是QPM为直角，应该存在有些难算，我写下思路，自己去算，设CP=x,PQ=5/4x由于等腰直角，QM=5/4倍的根号2，且两锐角为45，三角形BQM中，BQ QM已知，角B已知，余弦定理求BM（用x表示）；三角形MPA中，MP AP已知，角A已知，求AM（用x表示），AM+BM=5，求出x

Answer 3

（1）三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，则角C=90，并且，三角形ABC面积为6，一半为3，设CP=x，三角形PQC的面积=1/2*x*(3/4)x=3,CP=4分之根号2
（2）设CP=x,CQ=3/4x,PQ=5/4x,AP=4-x,BQ=3-(3/4)x,三角形PQC的周长=x+3/4x+5/4x=3x,四边形PABQ的周长=(4-x)+5+(3-(3/4)x)+(5/4)x=12-(1/2)x,两者相等，求x=24/5
(3)若角QMP为直角，则PM=QM不可能
由于AC>AB，所以只可能是QPM为直角

Answer 4

解：（1）∵S△PQC=S四边形PABQ，且S△PQC+S四边形PABQ=S△ABC，
∴S△PQC：S△ABC=1：2．
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴S△PQC：S△ABC=（PC AC ）2=1：2．
∴PC2=42×1 2 ．
∴PC=2 2 ．

（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=1 2 （AB+BC+AC）=6．
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴CP CA =CQ CB ，CP 4 =6-CP 3 ．
解得CP=24 7 ．