Question

将20个大小相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，求共有

Answer 1

解：转化为隔板法。
设三个盒子中装的数分别是a、b、c。则a+b+c=20。其中字母的取值范围必须都是≥1，才能用隔板法，所以要转化下。
a+b+c=20
a+(b-1)+(c-2)=17
x+y+z=17
问题转化为17个球放到三个盒中，每个盒中至少一个。
这样想，把17个球摆好，中间放两个板子，这样就分成了三堆了
17个板，中间有16个空，放两个板子，答案是C16，2=120种

追问

是20个小球。

追答

20个球，中间隔了19个位置，把球分3份，相当于隔两个板，故17

Answer 2

先把每个盒子里放入编号个球，即1号盒子放1个球，2号盒子放2个球，3号盒子放3个球。共有1种
剩下的14个球就可以随便放了，用插空法把它们分为3组即可，共有16个空位置，所以有C(16,2)种
所以一共有：C(16,2）=120种

追问

这个结果太大了！小球没有区别呀!

追答

恩，刚刚看错了，看成小球有区别了，现在改了

追问

16个空位置怎么解释？谢谢！

追答

不对，错了，不好意思。该15个空位置。从中选两个的话共有C(15,2)=105种，从中选1个的话共有15种
选两个时表示把第一个挡板左边的分给1号盒子，两个挡板之间的分给第二个盒子，第二个挡板右边的分给第三个盒子。但是这样中间的盒子就不能得到0个，所以还有一些情况就是选1个挡板，挡板左边的给1号盒子，右边的给3号盒子，2号盒子0个
所以一共有105+15=120种

Answer 3

三个盒子先分别放1,2,3个，还剩14个随便放，相当于17个位置插2个隔板，一共有16C2=120种

追问

为什么是17个位置？

追答

因为14个可以有盒子不放球，要用插板的方法必须要每个盒子至少有一个球，所以要先加3个球，变成17个，插2个板

Answer 4

方法一：先在2，3号球分别放入1，2个球，那么还剩17个球，问题转化为：

把17个小球三个盒子中，每个盒子至少1球，共有多少种？

典型 “挡板法”问题！

17个球排成一列，有16个空隙，插入2块挡板。

C(16,2)=120

方法二：根据题意，先在编号为2的盒子中依次放入1个小球，编号为3的盒子中依次放入2个小球，还剩余17个小球，只需将这17个小球放入3个小盒，每个小盒至少一个即可，
17个小球之间共16个空位，从中选2个，插入挡板即可，则有C₁₆²=120种不同的放法，
故答案为：120．