Question

问几道大学高等数学中判断级数敛散性的问题。

正确后加分

Answer 1

1）n趋向无穷大时，sinπ/3^n与π/3^n同阶，可以认为是相等的
所以只需要判断2^n*π/3^n=π*(2/3)^n的收敛性，公比为2/3，小于1，收敛
2）n趋向无穷大时，cosnπ/3^2<=1
所以：原级数<=n/2^n
且：级数n/2^n，其后一项与前一项的比值为1/2<1，所以是收敛的
故原级数也收敛
3）还是看比值的大小，【5^(n+1)*(n+1)!*n^(n+1)】/【5^n*n!*(n+1)^(n+2)】
=5*(n/(n+1))^(n+1)
=5/【(1+1/n)^(n+1)】=5/e>1，所以是发散的
4）可以看成是两组等比数列的加和，（奇数项和偶数项分开）且公比都为1/9，所以是收敛的
也可以直接看比值与1的大小。
5）ln(1+1/n)=0+1/n-1/2*(1/n^2)+...【泰勒展开，只需要看前三项】
所以：1/n-ln(1+1/n)=1/2n^2【后面的高阶项忽略不计】
所以：是收敛的

Answer 2

1、n→∞时，sin(π/3^n)等价于π/3^n，所以整个通项等价于π(2/3)^n，级数∑π(2/3)^n是公比为2/3的等比级数，收敛，所以由比较法，原级数收敛。
2、通项小于等于n/2^n，对于级数∑n/2^n，由比值法，u(n+1)/un的极限是1/2＜1，所以∑n/2^n收敛。由比较法，原级数收敛。
3、用比值法，u(n+1)/un＝5/[(1+1/n)^(n+1)]，极限是5/e＞1，所以级数发散。
4、通项un≤4/3^(n+1)，级数∑4/3^(n+1)是公比为1/3的等比级数，收敛。所以由比较法，原级数收敛。
5、ln(1+x)=x-1/2*x^2+O(x^2)，替换x为1/n，则n→∞时，(1/n-ln((n+1)/n))/(1/n^2)→1/2，级数∑1/n^2收敛，所以由比较法，原级数收敛。