Question

已知圆C1:x^2+(y+2)^2=1,圆C2:(x+√3)^2+(y-1)^2=1

坐标平面内的点P满足：存在过点P的无穷多对夹角为60度的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长和l2被圆C2截得的弦长相等，则符合条件的点P的坐标

Answer 1

设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：
y-n=k1(x-m)，y-n=k2(x-m)
即k1x-y+n-k1m=0，k2x-y+n-k2m=0
tan60=|k2-k1|/|(1+k1k2)|=根号3
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等
由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等
∴|+2+n-k1m|/√(k1^2+1)=|k2*（-根号 3)-1+n-k2m|/√(k2^2+1)
化简，得
关于x的方程有无穷多解，有：
解得：点P坐标为 (,)或(,)

追问

为什么tan60度的等式成立

追答

夹角为60度的直线l1和l2,其斜率分别是k1,k2,那么有tan60=|k1-k2/(1+k1k2)|,这是夹角公式.