Question

如图,AE是圆O的直径,DF切圆O于B,AD⊥DF于D,EF⊥DF于F

（1）求证：EF+AD=AE;（2）若EF=1，DF=4，求四边形ADFE的周长

Answer 1

连接OB，可证T型OEFB与OADB及EFAD都相似且OB//AD//EF
则OEFB与OADB的面积合等于AEFD的面积
设OEFB的高为a,则OADB的高也是a，AEFD的高为2a
(（EF+OB）*a/2)+((AD+OB)*a/2)=(AD+EF)*2a/2
化简即得EF+AD=AE

假设AD=x，则AE=x+EF,
周长=1+4+x+x+1=2x+6
OB=(x+1)/2
根据梯形相似，得EF/OB=OB/AD
1/((x+1)/2)=(（x+1）/2)/x
化简得x=1
所以周长=8

Answer 2

连接OB，可证T型OEFB与OADB及EFAD都相似且OB//AD//EF
则OEFB与OADB的面积合等于AEFD的面积
设OEFB的高为a,则OADB的高也是a，AEFD的高为2a
(（EF+OB）*a/2)+((AD+OB)*a/2)=(AD+EF)*2a/2
化简即得EF+AD=AE

假设AD=x，则AE=x+EF,
周长=1+4+x+x+1=2x+6
OB=(x+1)/2
根据梯形相似，得EF/OB=OB/AD
1/((x+1)/2)=(（x+1）/2)/x
化简得x=1
所以周长=8