Question

一道极限题目

lim(x→0)sinx+xf(x)/x^3=1/2 求f(0),f`(0),f``(0) 麻烦给出详细过程，谢谢

Answer 1

用泰勒公式展开法，在 x=0 点

sinx=x-1/3!*x^3+o(x^4)
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)/2!*x^2+o(x^3)

那么 (sinx+xf(x))/x^3
=(x-1/3!*x^3+o(x^4)+f(0)*x+f'(0)*x^2+f''(0)/2!*x^3+o(x^4))/x^3
=(1+f(0))*x+f'(0)*x^2+(f''(0)/2!-1/3!)*x^3+o(x^4))/x^3

如果极限成立，并且等于 1/2
那么只能是

1+f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)/2!-1/3!=1/2

因此
f(0)=-1
f'(0)=0
f''(0)=(1/2+1/3!)*2!=1+1/3=4/3

如果觉得满意的话，请选一下那个【满意】哦。谢谢……
如果还有不清楚的地方，可以【追】问。
另：选择【满意】等处理之后，可以返还抵押的财富值

Answer 2

追问

题目中没有说明f(x)有二阶导数所以不能用洛必达法则做吧

追答

如果没有的话，那你还求f''(0)干嘛

追问

我知道存在，但是题目没有这样说，不满足洛必达的使用前提，这样做是会扣分的

追答

泰勒公式也是有条件的哟

追问

对哦，那应该用什么方法比较好呢？

追答

题目默认了