(x+△x)^n-x^n=？
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(x+△x)^n-x^n 二项式展开
=C(n,0)*(△x)^n+C(n,1)*x*(△x)^(n-1)+C(n,2)*x^2*(△x)^(n-2)……+C(n,n)*x^n-x^n
=C(n,0)*(△x)^n+C(n,1)*x*(△x)^(n-1)+C(n,2)*x^2*(△x)^(n-2)……+C(n,n-1)x^(n-1)*△x
这可以用来求(x^n)'
(x^n)'=lim(△x→0) [(x+△x)^n-x^n]/△x
=lim(△x→0)[C(n,0)*(△x)^n+C(n,1)*x*(△x)^(n-1)+C(n,2)*x^2*(△x)^(n-2)……+C(n,n-1)x^(n-1)*△x]/△x
=lim(△x→0) C(n,0)*(△x)^(n-1)+C(n,1)*x*(△x)^(n-2)……+C(n,n-2)*x^(n-2)*△x+C(n,n-1)x^(n-1)
=C(n,n-1)x^(n-1)
=n*x^(n-1)
=C(n,0)*(△x)^n+C(n,1)*x*(△x)^(n-1)+C(n,2)*x^2*(△x)^(n-2)……+C(n,n)*x^n-x^n
=C(n,0)*(△x)^n+C(n,1)*x*(△x)^(n-1)+C(n,2)*x^2*(△x)^(n-2)……+C(n,n-1)x^(n-1)*△x
这可以用来求(x^n)'
(x^n)'=lim(△x→0) [(x+△x)^n-x^n]/△x
=lim(△x→0)[C(n,0)*(△x)^n+C(n,1)*x*(△x)^(n-1)+C(n,2)*x^2*(△x)^(n-2)……+C(n,n-1)x^(n-1)*△x]/△x
=lim(△x→0) C(n,0)*(△x)^(n-1)+C(n,1)*x*(△x)^(n-2)……+C(n,n-2)*x^(n-2)*△x+C(n,n-1)x^(n-1)
=C(n,n-1)x^(n-1)
=n*x^(n-1)
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