Question

设函数f(X)=x+ln[x+根号（1+x^2）] 任意实数a+b＞0是f(a)+f(b)＞0的什么条件？ 充要或者别的？

Answer 1

充要条件：

单调性用导数证明

奇偶性用等价定义证明

充要条件双向证明

详细请见图片

Answer 2

你好，解答如下：
充要条件
通过观察看判断：函数定义域：x∈R
函数为增函数
又f(x)＋f(-x)＝ln[x＋√(x²＋1)]＋ln[-x＋√(x²＋1)]＝ln1＝0
所以f(x)=-f(-x)
则f(x)为奇函数。
充分性：由a+b>0得：a>-b
则f(a)>f(-b)
f(a)>-f(b)
f(a)+f(b)>0
必要性：由f(a)+f(b)>0得：
f(a)>-f(b)=f(-b)
所以a>-b
a+b>0
综上：a+b＞0是f(a)+f(b)＞0的充要条件

希望对你有帮助O(∩_∩)O~~

Answer 3

解答：
∵ln[x＋√(1＋x²)]有意义
∴x＞√(1＋x²)
即x﹣√(1＋x²)＞0
两边平方得
x²﹣2x√(1＋x²)﹣(1＋x²)＞0
整理得
2x√(1＋x²)＋1＜0
解得D＝{x＜﹣1/2}（D是“定义域”的意思）
∴D∈R但是D≠R
∴a＋b＞0无法推出f(a)＋f(b)＞0，f(a)＋f(b)＞0能推出a＋b＞0
∴a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞0的必要非充分条件