Question

设函数 f(x)=cos(2x- π 3 )-2si n 2 x （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（

设函数 f(x)=cos(2x- π 3 )-2si n 2 x （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 f(B)= 1 2 ．b=1，c= 3 ，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵ f(x)=cos(2x- π 3 )-2si n 2 x =cos2xcos π 3 +sin2xsin π 3 -（1-cos2x） = 1 2 cos2x+ 3 2 sin2x+cos2x-1= 3 （ 1 2 sin2x+ 3 2 cos2x）-1 = 3 sin（2x+ π 3 ）-1， ∴T= 2π 2 =π， ∵正弦函数的递增区间为：[2kπ- π 2 ，2kπ+ π 2 ]， ∴当2kπ- π 2 ≤2x+ π 3 ≤2kπ+ π 2 ，即kπ- 5π 12 ≤x≤kπ+ π 12 时，函数f（x）单调递增， 则函数f（x）的单调增区间为 [kπ- 5π 12 ，kπ+ π 12 ]   (k∈Z) ； （Ⅱ）∵ B∈(0，π)，f(B)= 1 2 ，即 3 sin（2B+ π 3 ）-1= 1 2 ， ∴sin（2B+ π 3 ）= 3 2 ， ∴ 2B+ π 3 = 2π 3 或2B+ π 3 = π 3 （舍去）， ∴ B= π 6 ，即sinB= 1 2 ，又b=1，c= 3 ， 由正弦定理得：sinC= 1 2 × 3 1 = 3 2 ，又C∈（0，π）， ∴ C= π 3 或 2π 3 ， 当C= π 3 时，由 B= π 6 得到A= π 2 ，即三角形为直角三角形， 由b=1，c= 3 ，根据勾股定理得：a=2； 当C= 2π 3 时，由B= π 6 得到A= π 6 ，即三角形为等腰三角形， 则a=b=1， 综上，a的值为2或1．