Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列{bn}满足：b1=12，bn+1=n+12nbn（n∈N+），记数列

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列{bn}满足：b1=12，bn+1=n+12nbn（n∈N+），记数列{bn}的前n项和为Tn．（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn；（2）求数列{bn}的通项公式bn及前n项和公式Tn；（3）记集合M={n|2Sn(2?Tn)n+2≥λ，n∈N+}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，
由题意得

a1+d＝2 5a1+10d＝15

，解得

a1＝1 d＝1

，
∴a_n=n，
∴Sn＝

n2+n

2

．
（2）由题意得

bn+1

bn

＝

1

2

?

n+1

n

，
累乘得bn＝

bn

bn?1

?

bn?1

bn?2

?…?

b2

b1

?b1＝(

1

2

)n(

n

n?1

×

n?1

n?2

×…×

2

1

)＝

n

2n

．
由题意得Tn＝

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn＝

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n?1

2n

+

n

2n+1

②
②-①得：

1

2

Tn＝

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

?

n

2n+1

＝

1 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

?

n

2n+1

＝1??

n+2

2n+1

∴Tn＝2?

n+2

2n

（3）由上面可得

2Sn(2?Tn)

n+2

＝

n2+n

2n

，令f(n)＝

n2+n

2n

，
则f（1）=1，f(2)＝

3

2

，f(3)＝

3

2

，f(4)＝

5

4

，f(5)＝

15

16

．
下面研究数列f(n)＝

n2+n

2n

的单调性，
∵f(n+1)?f(n)＝

(n+1)2+n+1

2n+1

?

n2+n

2n

＝

(n+1)(2?n)

2n+1

，
∴n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．
∵集合M的子集个数为16，
∴M中的元素个数为4，
∴不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的个数为4，
∴

15

16

＜λ≤1