Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线顶点N的坐标为（?1．?92），此抛物线交y轴于B（0，-4），交x轴

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线顶点N的坐标为（?1．?92），此抛物线交y轴于B（0，-4），交x轴于A、C两点且A点在C点左边．（1）求抛物线解析式及A、C两点的坐标．（2）如果点M为第三象限内抛物线上一个动点且它的横坐标为m，设△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置使得以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）设抛物线解析式为：
∵抛物线交y轴于B（0，-4）
∴a?

9

2

＝?4，
∴a＝

1

2

∴抛物线解析式为：
y＝

1

2

(x+1)2?

9

2

或y＝

1

2

x2+x?4
令y=0得：

1

2

x2+x?4＝0，
解得：x₁=-4，x₂=2
∴A（-4，0），C（2，0）；

（2）作MT⊥x轴于T，设M（m，n），
则AT=m+4，MT=-n，TO=-m，BO=4．
∴S_AMBO=

1

2

(m+4)(?n)+

1

2

(?n+4)(?m)＝?2m?2n
∵M（m，n）在抛物线上，
∴n＝

1

2

m2+m?4
∴S_AMBO=?2m?2(

1

2

m2+m?4)＝?m2?4m+8
∵S_△AOB=

1

2

×4×4＝8，
∴S与m的函数关系式为：S=-m²-4m
∵S为m的二次函数且-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴S的最大值为?

(?4)2+4(?1)?0

4(?1)

＝4；

（3）因为点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，
所以相应的点Q的坐标为：有两个位置满足条件，此时点Q的坐标为（4，4），（-4，-4）．
设p（a，0.5a²+a-4），则Q（-a，-a）
那么PQ=OB=4，
∴0.5a²+a-4-（-a）=4，
解得a=-2+2

5

或a=-2-2

5

，
∴Q（-2+2

5

，-2+2

5

）或（-2-2

5

，-2-2

5

）．