如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求二面角A1-DE-B的大小．...
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求二面角A1-DE-B的大小．
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解答：
解：解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）
在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G，
由于
＝
＝2
，
故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．
于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A1C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，
故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角．（8分）
EF＝
＝
，CG＝
＝
，EG＝
＝
．
＝
，GH＝
×
＝
．
又A1C＝
＝2
，A1G＝A1C?CG＝
．tan∠A1HG＝
＝5
．
所以二面角A1-DE-B的大小为arctan5
．（（12分））
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．
＝(0，2，1)，
＝(2，2，0)，
＝(?2，2，?4)，
＝(2，0，4)．（3分）
（Ⅰ）因为
解：解法一：依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）
在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G，
由于
| AA1 |
| FC |
| AC |
| CE |
| 2 |
故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．
于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A1C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，
故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角．（8分）EF＝
| CF2+CE2 |
| 3 |
| CE×CF |
| EF |
| ||
|
| CE2?CG2 |
| ||
| 3 |
| EG |
| EF |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| EF×FD |
| DE |
| ||
|
又A1C＝
A
|
| 6 |
5
| ||
| 3 |
| A1G |
| HG |
| 5 |
所以二面角A1-DE-B的大小为arctan5
| 5 |
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．
| DE |
| DB |
| A1C |
| DA1 |
（Ⅰ）因为
