Question

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2-2s

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2），则当1≤s≤4时，ts的取值范围是______．

Answer 1

解：把函数y=f（x）向右平移1个单位可得函数y=f（x-1）的图象
∵函数y=f（x-1）得图象关于（1，0）成中心对称
∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）成中心对称，即函数y=f（x）为奇函数
∵f（s²-2s）≤-f（2t-t²）=f（t²-2t）且函数y=f（x）在R上单调递减
∴S²-2S≥t²-2t在S∈[1，4]上恒成立
即（t-s）（s+t-2）≤0
∵1≤s≤4
∴-2≤2-s≤1，即2-s≤s
∴2-s≤t≤s
作出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的△ABC，C（4，-2）
而

t

s

表示在可行域内任取一点与原点（0，0）的连线的斜率，结合图象可知OB直线的斜率是最大的，直线OC的斜率最小
∵K_OB=1，K_OC=?

1

2

故

t

s

∈[-

1

2

，1]
故答案为：[-

1

2

，1]