Question

如图，设P是抛物线C 1 ：x 2 =y上的动点．过点P做圆C 2 ：x 2 +（y+3） 2 =1的两条切线，交直线l：y=-3于

如图，设P是抛物线C 1 ：x 2 =y上的动点．过点P做圆C 2 ：x 2 +（y+3） 2 =1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点。 （1）求C 2 的圆心M到抛物线C 1 准线的距离；（2）是否存在点P，使线段AB被抛物线C 1 在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意可知，抛物线C 1 的准线方程为： 所以圆心M到抛物线C 1 准线的距离为 ； （2）设点P的坐标为（x 0 ，x 0 2 ），抛物线C 1 在点P处的切线交直线l于点D 再设A，B，D的横坐标分别为 过点P（x 0 ，x 0 2 ）的抛物线C 1 的切线方程为：   （1） 当 时，过点P（1，1）与圆C 2 的切线PA为： 可得 所以 设切线PA，PB的斜率为 ，则    （2）   （3） 将 分别代入（1），（2），（3），得 从而 又 即 同理 所以 是方程 的两个不相等的根，从而 ， 因为 所以 ，即 从而 进而得 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（ ， ）。