Question

如图，四棱椎P-ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，BA=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD．（1）证明：CD

如图，四棱椎P-ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，BA=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD．（1）证明：CD⊥CP；（2）若E是线段PA的中点，证明BE∥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）因为∠ABC=90°，BA=BC=1，
所以AC=

2

．
过点C作CM⊥AD，垂足为M，则CD=

CM2+MD2

=

2

，
所以AC²+CD²=AD²，
所以CD⊥AC．
因为PA⊥CD，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥CP；
（2）设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC
则EF∥AD，且EF=

1

2

AD．
由已知∠ABC=∠BAD=90°，
所以BC∥AD．
又BC═

1

2

AD，
所以BC∥EF．且BC=EF．
所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF．
因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．