Question

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=log 2 （|x-1|+|x-5|-a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=log 2 （|x-1|+|x-5|-a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义， 即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------① ①当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，解之得x ＜ 1 2 ； ②当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，无实数解； ③当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，解之得x ＞ 11 2 综上所述，函数f（x）的定义域为（-∞， 1 2 ）∪（ 11 2 ，+∞）． （Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R， ∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立， ∴只要a＜（|x-1|+|x-5|） min 即可， 又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号） ∴a＜（|x-1|+|x-5|） min 即a＜4，可得实数a的取值范围是（-∞，4）．