Question

高数上册总习题五5（3）定积分

这个是收敛的还是发散的？为什么？

Answer 1

(-∞,0) ∫ x/(1+x²) dx = ½ ln(1+x²) | (-∞,0) = -∞
(0,+∞) ∫ x/(1+x²) dx = ½ ln(1+x²) | (0, +∞) = +∞
(-∞,+∞) ∫ f(x) dx 收敛，必须 (-∞,0) ∫ f(x) dx 与 (0,+∞) ∫ f(x) dx 均收敛
所以上述反常积分是发散的

追问

不管在哪个区间1+x²不都是一样的数值吗？应该都趋向于正无穷吧？怎么会有-∞出现

追答

(-∞,0) ∫ x/(1+x²) dx = ½ ln(1+x²) | (-∞,0) = ½ (ln1-ln∞) = -∞