Question

计算下列N阶行列式

Answer 1

解：原行列式第2至第n行都减去第1行，得
a1 + 1 a2 a3 a4 …… a<n-1> an
-1 2 0 0 …… 0 0
-1 0 3 0 …… 0 0
-1 0 0 4 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
-1 0 0 0 …… n-1 0
-1 0 0 0 …… 0 n

第2列乘以(1/2)、第3列乘以(1/3)、……、第n列乘以(1/n)，然后全部加到第1列，得
1+ Σ(a<i>/ i ) a2 a3 a4 …… a<n-1> an
0 2 0 0 …… 0 0
0 0 3 0 …… 0 0
0 0 0 4 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
0 0 0 0 …… n-1 0
0 0 0 0 …… 0 n

∴原行列式 = n！*【1 + Σ(a<i>/ i ) 】
其中，Σ(a<i>/ i）表示从a1/1、a2/2、a3/3……一直累加到 an/n