Question

已知定义域为R的奇函数f（x），当x>0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）

1、求函数f（x）的解析式
2、若函数y=f(x)在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围

Answer 1

奇函数，则f(0)=0。
当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-[ln(-x)-a(-x)+1]=-ln(-x)-ax-1。
1,f(x)={-ln(-x)-ax-1(x<0)、0(x=0)、lnx-ax+1(x>0)}
2,x=0是一个零点。
由对称性可知道，x>0时，f(x)有两个零点。
x>0，f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x。
若a<=0，则f'(x)>0，f(x)单调递增，不可能有两个零点。
所以，a>0，f(x)在区间(0,1/a)上递增、在区间(1/a,+无穷)上递减。
f(x)在区间(0,+无穷)上的极大值(也是最大值)为f(1/a)=ln1/a。
若f(x)在(0,+无穷)上有两个零点，则ln1/a>0，即1/a>1、a<1。
所以，实数a的取值范围是：(0,1)。

Answer 2

满意答案那个明显刚开始就错了啊。
llnx的定义域不就是x>0么。怎么还可能有x=0啊。

Answer 3

解析式
x>0,f(x)=lnx-ax+1
x<0,f(x)=-ln(-x)-ax+1
范围求导即可