Question

如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC翻折纸片abcd，使A与C重合，折痕为EF，已知CE⊥AB

1.求证EF∥BD
2.若AB=7，CD=3，求线段EF长
如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC翻折纸片abcd，使A与C重合，折痕为EF，已知CE⊥AB
1.求证EF∥BD
2.若AB=7，CD=3，求线段EF长

Answer 1

（1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；
连接AC，交EF于点K，则AK=CK．
∵AB∥CD
∴BH=CD、BD=CH
∵AD=BC
∴AC=BD=CH
∵CE⊥AB
∴AE=EH
∴EK是△AHC的中位线
∴EK∥CH
∴EF∥BD
（2）
依题意得：∵BH=CD，EF∥BD
∴∠AEF=∠ABD
∵AB=7、CD=3
∴AH=10
∵AE=CE、AE=EH
∴AE=CE=EH=5
∵CE⊥AB
∴CH=5√2 =BD
在△AFE和△ADB中
∵∠EAF=∠BAD
∠AEF=∠ABD
∴△AFE∽△ADB
∴AE／AB =EF／BD ．
∴EF=AE•BD／AB =25√2 ／7