Question

已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于点(3/2,0)成中心对称，且f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=?

Answer 1

定义在R上的奇函数f(x)
f(0)=f(-0)=-f(0), f(0)=0

y=f(x)关于（a,b)成中心对称，满足f(x)=2b-f(2a-x)
这里a=3/2,b=0
f(x)=-f(3-x)
f(-x)=-f(x+3)
f(-x)=-f(x)
f(x+3)=f(x)
3是f(x)的一个周期，3的整数倍（0除外）也是f(x)的周期
即f(x+3k)=f(x), k∈Z
f(2)=f(2-3)=f(-1)=1=-f(1)
f(1)=-1

f(3k)=f(0+3k)=f(0)=0
f(1+3k)=f(1)=-1
f(2+3k)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=1
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)
=[ f(1)+f(2)+f(3)]+[f(4)+f(5)+f(6)]+…+[f(2011)+f(2012)+f(2013)]
=0+0+…+0（共671个0）
=0