Question

如图，直角梯形 OABC中， AB‖ OC, O为坐标原点，点A 在 y轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点 B坐标为（2

如图，直角梯形 OABC中， AB‖ OC, O为坐标原点，点A 在 y轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点 B坐标为（2，2倍的根号3 ），∠BCO = 60°，OH垂直于BC 于点H .动点P 从点 H出发，沿线段HO 向点O 运动，动点 Q从点O 出发，沿线段OA 向点 A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点 运动的时间为 t秒.
（1）OH 求 的长；
（2）若三角形OPQ 的面积为 S（平方单位）. 求 S与 t之间的函数关系式.并求 t为何值时， 三角形OPQ的面积最大，最大值是多少？
（3）设 PQ与 OB交于点M .①当△ OPM为等腰三角形时，求（2）中 S的值.
②探究线段 OM长度的最大值是多少，直接写出结论.

Answer 1

1）、链接oB，过B作BM垂直x轴于M。
由于B的坐标可知|OM|=2，|MB|=2√3，
所以直角三角形MBO中tan<BOM=√3,所以<BOM=60°；又已知<BCO=60°，
得到等边三角形BOC.
由OH垂直BC,OH就为这个等边三角形的一个高。所以OH=BM=2√3.
2）、过P作PN垂直Y轴于N.
三角形面积即为1/2|OQ|.|PN|,
其中|OQ|=t, |PN|=|OP|cos<|PON|,
又|OP|=|OH|-|PH|=2√3-t;
<PON=90°-<COH=60°。
所以S=-1/4t^2+√3/2t; 0<t<2√3。
3）若|OM|=|OM|则<MPO=<MOP=30°，所以<QOP+<QPO=90°。
直角三角形QOP中|OQ|=1/2|OP| 即t=1/2(2√3-t) 得t=2√3/3.
把t带入2问中得s“=2/3.
若|OP|=|MP| 必有 <OPM=120°而<POQ=60°，导致三角形内角和大于180°肯定不成立。
若|OP|=|OM|,过M作MR垂直|OQ|于R.
由<OPM=<OMP=<MQO+<QOM=30°+<MQO=75°。
所以|QR|=|MR|=1/2|OM|=1/2|OP|..........(1)
|OR|=√3/2|OP|.........(2)
由以上两式得t=(1/2+√3/2)(2√3-t) 解得t=2
带入s得s”“=√3-1。
4）
延长OM至一点K 再连接PK,使得PK//OQ,
那么三角形QMO相似于三角形PMK.
等腰三角形OPK中有|OK|=√3|OP|....,所以|MK|=√3(2√3-t)-|OM|
由|MK|/|OM|=|PK|/|OQ| 得：{√3(2√3-t)-|OM|}/|OM|=(2√3-t)/t
得|OM|=-1/2t^2+√3t=-1/2(t-√3)^2+3/2.
由上式知道|OM|最大值在t=√3时有最大值3/2

后语：最后一问实在做不出来了就猜最特殊的地方，比如中点之类的~直观也好算。