Question

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三角形ABC是以∠ABC为直角三角形，SA垂直平面ABC，SA=BC=2,AB=4,M.N.D分别是SC.AB.BC的中点（1）求证MN垂直AB（2）求二面角S-ND-A的余弦值（3）求A到平 面SND的距离
需要详细解答过程，友友们帮帮忙！急吖…

Answer 1

1、连结DM、AM，

∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，

∴根据三垂线定理，BC⊥SB，

∴△SBC是RT△，

∵BM是△SBC斜边的中线，

∴BM=SC/2。

同理AM=SC/2，

∴AM=BM，

∴△MAB是等腰△，

∵MN是AB边上中线，

∴MN⊥AB，（等腰△三线合一性质）。

2、延长DN，作AH⊥DN，垂足H，连结SH，

根据三垂线定理，SH⊥DN，

∴〈SHA是二面角S-ND-A的平面角。

作BE⊥AC，交AC于E，交ND于F，

BE=AB*BC/AC=4*2/√（16+4）=4/√5，

∵ND是△ABC中位线，

AH=EF，

∴AH=BE/2=2/√5，

根据勾股定理，SH=2√30/5，

cos<AHS=AH/SH=√6/6。

3、在平面SAH上，作AQ⊥SH，

∵由前所述HD⊥平面SAH，

AQ∈平面SAH，

∴HD⊥AQ，

∵SH∩HD=H，

∴AQ⊥平面SHD（SND），

∴AQ是A至平面SND距离，

在RT△SAH中，

根据等面积原理，

SH*AQ=SA*AH，

AQ=2*（2/√5）/（2√30/5）=√6/3。

∴求A到平面SND的距离为√6/3。