Question

不定积分 ∫ x(e的x次方) dx 怎么做? d(e的x次方)，放在里面是什么意思？

Answer 1

我给你个详细点的做法，不嫌麻烦的话。这题应该采用分部积分法
∫ xe^x dx
= ∫ x d[∫ e^x dx]，将e^x放进d里面之前要先将e^x积分，即∫ e^x dx = e^x + C
= ∫ x d(e^x + C)
= ∫ (x) d(e^x)
= (x)(e^x) - ∫ (e^x) d(x)，交换位置，注意括号部分里面的函数的位置的变化
= xe^x - e^x + C，∫ e^x dx = e^x + C
= (x - 1)e^x + C，这步因式分解，随你喜欢吧

分部积分法的形式是：
∫ vu' dx =
∫ vdu = uv - ∫ udv，根据反对幂指三的做法，这里的v比较复杂，所以先处理u
= ∫ uv' dx
∫ uv' dx比∫ vu' dx更加简化
在上题中，v = x，u = e^x，dv = dx，du = (e^x) dx = d(e^x)

将函数从d里面移出来的话就是微分法
例如d(e^(6x)) = (e^(6x))' dx = 6e^(6x) dx
将函数移进d里面的话就是积分法
例如7x dx = d[∫ 7x dx] = d[(7/2)x² + C] = d[(7/2)x²] 或 = (7/2)d(x²)
在d里面，对于常数项，可自由加减：例如d(6x) = d(6x + 8) = d(6x + e⁴) = d(6x + ln5)
但是乘除要抵消：例如d(x²) = d(x²/3 · 3) = 3 d(x²/3)，d(x²) = d(x²/3)是不对的
如果混合加减乘除，则要先做乘除部分，例如：d(x⁶) = d(10x⁶/10) = (1/10) d(10x⁶) = (1/10) d(10x⁶ - 2)

Answer 2

采用分部积分，d(e的x次方)就是分部积分的意思

Answer 3

=X(e的x次方)-∫ (e的x次方)dx
=X(e的x次方)-(e的x次方)
=(x-1)(e的x次方)