Question

怎样证明子空间补空间的唯一性

如果U是向量空间V的子空间，W是U的补空间（W和U的直和为V），证明V的唯一性

Answer 1

待证命题和标题并不一致，”证明V的唯一性“应该改为”证明W的唯一性“？
如果是这样的话可以采用反证法
设W和W'都是U的补空间，而且W≠W'
那么必然存在一个非零向量α属于W，而不属于W'
(因为两个线性空间不相等，这意味着两者至少包含一个不同的向量)
由于W是U的补空间，因此α不属于U
因此α既不属于U也不属于U的补空间W'
所以U+W'≠V
矛盾
因此补空间一定唯一.

Answer 2

引用知导者的回答：
待证命题和标题并不一致，”证明V的唯一性“应该改为”证明W的唯一性“？
如果是这样的话可以采用反证法
设W和W'都是U的补空间，而且W≠W'
那么必然存在一个非零向量α属于W，而不属于W'
(因为两个线性空间不相等，这意味着两者至少包含一个不同的向量)
由于W是U的补空间，因此α不属于U
因此α既不属于U也不属于U的补空间W'
所以U+W'≠V
矛盾
因此补空间一定唯一.

补空间是不唯一的

Answer 3

补空间不唯一！！！！！
但是如果向量空间给定了内积，正交补是唯一的。