Question

高一数学：设函数f（x）=ax^2-2x+b^2（a,b属于R），满足对任意实数x都有f（x）≤f（-1）≤1.

设函数f（x）=ax^2-2x+b^2（a,b属于R），满足对任意实数x都有f（x）≤f（-1）≤1.
（1）求a，b的值
（2）求函数f（x）在[t,t+1]上的最小值。
【本题为简答题，满分14分，我需要可以拿满分的过程。】

Answer 1

（1）当a=0时，f(x)=-2x+b^2，是R上的减函数
当a>0时，f(x)=ax^2-2x+b^2开口向上
上述两种情况下，f(x)都不存在最大值，即不符合f(x)<=f(-1)的题意，舍去。
因此，a<0，且x=-1是f(x)的对称轴
-(-2)/2a=-1
a=-1
f(x)=-x^2-2x+b^2=-(x+1)^2+1+b^2<=1+b^2
因为f(-1)<=1，所以1+b^2<=1
b^2<=0
因为b^2是非负数
所以b=0
综上所述，a=-1，b=0
（2）f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1
当t<=-3/2，f(x)在[t,t+1]上的最小值为f(t)=-t^2-2t
当t>-3/2，f(x)在[t,t+1]上的最小值为f(t+1)=-(t+2)^2+1=-t^2-4t-3