Question

设4阶矩阵A的秩为3,η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，c为任意常数

则方程组的通解？

Answer 1

η1 + c(η1-η2)
不过通解的表示有多种选择, 并不唯一

追问

为什么不是η1+c(η1+η2)?上面方程通解是怎么推出来的？能不能具体点？

追答

η1-η2 是 AX=0 的非零解
而 4-r(A)=1, 所以 AX=0 的基础解系含 1 个解向量
所以 η1-η2 是AX=0的基础解系.

追问

这是我们这次考试的题，正确答案是η1+c(η1-η2)∕ 2，为什么通解不是两个解相加而是相减？能不能具体点？

追答

AX=b 的解的差是AX=0的解!
所以 η1-η2 是 AX=0 的解, 教材里一定有的.

你说正确答案是 η1+c(η1-η2)∕ 2
你现在明白为什么一开始我就让你给出选项了吧, 是因为通解的表示有多种
η1-η2 是AX=0 的解, 所以 (η1-η2)/2 也是 AX=0 的解, 也是基础解系

追问

我买的线性代数书上写的通解是两个解相加，难道我买的书是盗版的？呵呵

追答

与原版相同才称为"盗版"
非齐次线性方程组的两个解的和不是这个方程组解, 也不是其导出组的解