Question

设f(x,y)连续，且f(x,y)= xy + ∫∫D f(u,v)dudv，其中D是由y=0,y=x……2,x=1所围区域，则f(x,y)等于（）．

求详解，∫∫f(u,v)dudv 指什么

Answer 1

二重积分∫∫D f(u,v)dudv 和∫∫D f(x,y)dxdy 实际上是一样的，只是改变了字母

显然在这个式子里，
二重积分∫∫D f(u,v)dudv 进行计算之后得到的是一个常数，不妨设其为a，
即 f(x,y)= xy + a，
现在将这个等式两边都在区域D上进行二重积分，
即 ∫∫D f(x,y)dxdy = ∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy
显然等式左边也等于a，
即 a=∫∫D xy dxdy + ∫∫D a dxdy
而 ∫∫D dxdy 就等于区域D的面积S，
S=∫ (上限1，下限0) x² dx
=1/3

所以a=∫∫ xy dxdy + a/3
即a=3/2 ∫∫D xy dxdy

再对二重积分∫∫D xy dxdy 进行计算
∫∫D xy dxdy
= ∫(上限1,下限0) dx ∫(上限x²,下限0) xy dy
=∫(上限1,下限0) 0.5 x^5 dx
=1/12
所以a=3/2 × 1/12=1/8，
即f(x,y)= xy + 1/8