Question

1．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．

（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）连接AD、BF，若AC=4，CF=2，求AD²+BF²的值

Answer 1

1、AF与BD垂直且相等
2、AD²+BF²=40
据题意知：∠BCF=180-∠ACD，CD=CF，AC=BC
由余弦定理得：
AD²=DC²+AC²-2DC*AC*cos∠ACD
=AC²+CF²-2AC*CF*cos∠ACD
BF²=BC²+CF²-2BC*CF*cos∠BCF
=AC²+CF²-2AC*CF*cos(180∠ACD)
=AC²+CF²+2AC*CF*cos∠ACD
AD²+BF²=2(AC²+CF²)=2(4²+2²)=40

Answer 2

解：（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD．证明：设AF与DC交点为G．
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF．
∴△ACF≌△BCD．∴AF=BD．∴∠AFC=∠BDC．∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90度．AF⊥BD．AF=BD且AF⊥BD．
（2）结论：AF=BD且AF⊥BD．
图形不惟一，只要符合要求即可．如：①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时．

Answer 3

AF与BD的关系是垂直且相等

证明：
∵四边形CDEF是正方形
∴CF=CD，∠DCF=90°
∵△ABC是等腰直角三角形
∴CA=CB，∠ACB=90°
∴∠ACF=∠BCD
∴△ACF≌△BCD
∴AF=BD

延长BD，交AF于点G，交AC于点Q
∵△ACF≌△BCD
∴∠CBD=∠CAF
∵∠AQG=∠BQC
∴∠AGQ=∠ACB=90°
即BD⊥AF​您还可以输入9999 个字

Answer 4

AF与BD平行且相等 证明三角形ACF与三角形BCD全等
等腰三角形两腰相等,还有直角,正方形三边相等利用SAS就可以证明边相等角相等,从而得到平行

追问

第一问我会的，主要是第二问！

Answer 5

朴有天热个

Answer 6

解：（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD．（1分）
证明：设AF与DC交于点G．
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF．
∴△ACF≌△BCD．
∴AF=BD．（4分）
∴∠AFC=∠BDC．
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，
∴∠BDC+∠DGA=90度．
∴AF⊥BD．（7分）
∴AF=BD且AF⊥BD
这个是第一问！第二问我不会，不过第一问比较详细哈！！呵呵