对(xlnx)/(1+x²)²的不定积分
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∫ xlnx /(1+x^2)^2 dx
=(1/2) ∫ lnx /(1+x^2)^2 d(x^2+1)
=-(1/2) ∫ lnx d [ 1/(1+x^2) ] 分部积分法
=-(1/2)lnx / (1+x^2) +(1/2) ∫ 1/(1+x^2) d(lnx)
=-(1/2)lnx /(1+x^2) +(1/2) ∫ (1+x^2-x^2)* [ 1/(1+x^2) ]*(1/x) dx
=-(1/2)lnx /(1+x^2) +(1/2) ∫ 1/x dx -(1/4) ∫ 2x/(1+x^2) dx
=-(1/2) lnx /(1+x^2) +1/2*lnx -(1/4) ln(1+x^2) +C
=(1/2) ∫ lnx /(1+x^2)^2 d(x^2+1)
=-(1/2) ∫ lnx d [ 1/(1+x^2) ] 分部积分法
=-(1/2)lnx / (1+x^2) +(1/2) ∫ 1/(1+x^2) d(lnx)
=-(1/2)lnx /(1+x^2) +(1/2) ∫ (1+x^2-x^2)* [ 1/(1+x^2) ]*(1/x) dx
=-(1/2)lnx /(1+x^2) +(1/2) ∫ 1/x dx -(1/4) ∫ 2x/(1+x^2) dx
=-(1/2) lnx /(1+x^2) +1/2*lnx -(1/4) ln(1+x^2) +C
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