Question

如图：已知D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，，E为AD延长线上一点，且CE=CA。 证：（1）DE平

如图：已知D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，，E为AD延长线上一点，且CE=CA。
证：（1）DE平分∠BDC。 （2）若M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD

Answer 1

本题缺条件，即∠ACB=90°。
(1)在△ABD中，
∠DAB=∠CAB-∠CAD=45°-15°=30°
∠DBA=∠CBA-∠CBD=45°-15°=30°
所以△ABD为等腰三角形，BD=AD
所以：∠BDE=∠DAB+∠DBA
=30°+30°
=60°
在△DBC和△DAC中，BD=AD
BC=AC，DC=DC，所以
△DBC和△DAC全等，所以
∠DCB=∠DCA=∠ACB/2=90°/2=45°
所以∠EDC=∠CAD+∠DCA
=15°+45°
=60°
即，∠BDE=∠EDC=60°
所以，DE平分∠BDC。
(2)连接MC，在△DMC中，DM=DC，
∠MDC=60°，所以△DMC为等边三角形，
所以∠DMC=60°
在△EMC和△ADC中，CE=CA
∠CEM=∠CAD=15°
∠MCE=∠DMC-∠CEM=60°-15°
=45°=∠DCA
所以△EMC和△ADC全等，所以，ME=AD
因为AD=BD，所以ME=BD。

Answer 2

，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD．
在△BDC与△ADC中，
BD=AD∠CBD=∠CADBC=AC​，
∴△BDC≌△ADC（SAS），
∴∠DCB=∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DCB=∠DCA=45°．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；

（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC​，
∴△ADC≌△EMC（AAS），