Question

定积分上下限变换的问题

定积分上限是x^2，下限是0.∫tf(x^2-t)dt用x^2-t=u进行换元，他的上下限是如何变换的？请详细分析，我最近看书这个开始还看得懂现在越来越乱了。
另：定积分上限是x^2，下限是0.∫f(x^2-t)dt也用x^2-t=u进行换元，他的上下限是如何变换的？他和上式的区别是什么？讲解详细有悬赏追加。
我要的不是u的上下限，这个我会求的，我要的是在换元的过程中，定积分上下限变化的过程，如.∫tf(x^2-t)dt用x^2-t=u进行换元的过程中积分的上下限变化了几次？怎么变化的，请详解。
另：定积分上限是x^2，下限是0.∫f(x^2-t)dt也用x^2-t=u进行换元后积分的上下限和上式（.∫tf(x^2-t)dt）的一样吗？

Answer 1

这是对t的积分
所以0≤t≤x^2
-x^2≤-t≤0
则0≤x^2-t≤x^2
所以换元后0≤u≤x^2
两题都是这样

追问

这些我是明白的，我要问的是，在换元的过程中，定积分的上下限时如何变化的。两题在变化后积分的上下限是否一致。请详述换元过程中的积分上下限变化工程。

追答

题目中 u=x^2-t 换元
而且知道t的范围 代进式子中求u的范围
定积分的上下限由t的范围变到u的范围

两题同样是对t的积分，只是被积函数f(x^2-t)与tf(x^2-t)不同
而且换元一样 t的范围不变所以u的范围也不变
u的范围也就是定积分变化后的上下限

追问

也就是说，一步换元之后，定积分的上下限就从t的变成U的了。再求微分式子导出负号，令积分的上下限倒转。那么看起来就好像是定积分的上下限没有变对吧？那么第二道题在换元并微分后的上下限也是x^2~0对吧？

追答

再求微分式子导出负号，令积分的上下限倒转
那么上限是0，下限是x^2
所以你说的 “那么看起来就好像是定积分的上下限没有变对吧？”有问题
第二道题在换元并微分后的上下限也是x^2~0 正确

追问

我说的“那么看起来就好像是定积分的上下限没有变对吧？”是基于上面两道题的，第一题，再换元后上下限变为上限是0，下限是x^2，再微分式子导出负号，就令积分的上下限倒转，那么看起来就好像是定积分的上下限没有变。我的理解对不。
那么同理第二道题，的换元并微分后的上下限也是x^2~0。对吧？
有qq吗？你最后的回答我没看懂，345522434