Question

在正方形ABCD中,M是BC边上任意一点（不包括端点B C）,P是BC延长线上一点,N是角DCP的平分线上一点，

若角AMN=90度，证明AM=MN
过N作BC垂线交BC延长线于P。证明三角形ABM和三角形MPN全等。
为什么全等，少边

Answer 1

证明：在AB上截取BE=BM则∠BEM=∠BME=45°

∠AEM=∠MCN=180-45=135°

而AB=BC

∴AB-BE=BC-BM即AE=MC

因为∠穗竖AMN=90°=∠ABM

∴∠NMC=∠MAE(同为∠AMB的余角)

△AEM≅△MCN

∴AM=MN

方法2连AC、猜基大AN

因为∠ACN=45+45=90°=∠AMN

∴A、锋汪M、C、N四点共圆

∴∠ANM=∠ACN=45°

∴△AMN是等腰直角三角形

∴AM=MN

因为∠NMP=∠MAB     MN=MA(已证)

∠NPM=∠MBA=90°

∴△ABM≅△MPN(AAS)

Answer 2

如图，做AB上一裤晌蠢点H，使BH=BM，连接HM。

讲思路，其它都简单，就不逐一胡陪写证明了。

此题的要点是证明△AHM≌△MCN（因为AH=MC，∠谨兆1=∠2，钝角=90+45度），得到AM=MN

然后RT△ABM、RT△MPN中，AM=MN，∠1=∠2，∠B=∠P=90度，所以全等

Answer 3

解：（1）∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中，∵
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN。
（2）仍然成立
在边AB上截取AE=MC，连接陵毕ME
∵△ABC是做判等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴纯汪改∠ACP=120°
∵AE=MC，
∴BE=BM
∴∠BEM=∠EMB=60°
∴∠AEM=120°
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM
∴△AEM≌△MCN
∴AM=MN。

Answer 4

⊿ABM∽⊿MPN AB/BM＝MP/NP
即AB/﹙AB-MC﹚盯帆＝﹙MC+CP﹚/CP [ ∵BC＝AB,CP＝NP ]
注意MC≠0 得到AB＝MC+CP＝MP. ⊿顷族ABM≌⊿MPN ﹙凯乎雹ASA﹚ ∴AM＝MN

Answer 5

N是角DCP的平分线上一点，到BC 和DC的距离相等。