Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点过O作直线MN∥BC设MN交∠BCA的平分线于点E交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

Answer 1

解：（1）OE=OF：因为EF∥BC，所以∠ACE=∠BCE=∠FEC，得：OC=OE

CF是∠BCA的外角平分线，同样可得OC=OF，所以OE=OF

（2）CF是∠BCA的外角平分线，CE是∠BCA平分线，所以∠FCE=90°

所以EF>CF,所以四边形BCFE不可能是菱形的

（3）CF是∠BCA的外角平分线，CE是∠BCA平分线，所以∠FCE=90°

如果四边形BCFE会是正方形，则AC⊥EF，即AC⊥BC，且要OA=OC，即O是AC的中点，这时四边形BCFE是正方形。

Answer 2

过点C作CG垂直于MN；过点E作EH垂直于BC，EI垂直于AC；
过点F作FJ垂直于BC，FK垂直于AC
（1）因为CE是∠BCA的平分线，所以EH=EI
因为CF是∠BCA外角的平分线，所以FJ=FK
因为MN平行于BC，所以EH=FJ，所以EI=FK
而S△EOC=EI*OC，S△FOC=FK*OC，所以S△EOC=S△FOC
而S△EOC=CG*OE，S△FOC=CG*OF，所以OE=OF
（2）若四边形AECF是正方形
则O为AC的中点，且AC垂直于EF，又MN平行于BC
所以∠BCA为直角
又S△EOC=S△EBC，所以OB=OC，则AB=2BC
所以，当点O运动到AC的中点，
且△ABC为∠BCA为直角，∠ABC为60°，∠BAC为30°的直角三角形时
四边形AECF是正方形
（3）不会，因为EC是∠BCA的平分线，EC永远不可能平分∠BCA
所以，四边形BCFE不会是菱形

Answer 3

1 因为EF//BC，所以∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCG,
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO，则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC，则OF=OC，所以OE=OF。
2 要四边形AECF为正方形，先要求AECF为矩形，
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理，
因为OE=OF，只要OA=OC，则AECF为平形四边形，
又因为∠ECF=90°，则AECF为矩形。
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理，
只要AC⊥EF,则AECF为正方形，
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到，必须O为AC中点，而且要满足∠BCA=90°时，
四边形AECF才为正方形。
3 因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形，则EF必大于CF。
而菱形必须四边相等，所以四边形BCFE肯定不会是菱形。

Answer 4

（1）因为MC平分叫BCA
所以叫BCM=叫ACE
因为MN//BC
所以叫CEN=叫BCM
所以叫CEN=叫ACE
所以OE=OC
下面也是
最终得OF=OC
所以OE=OF

Answer 5

第二问准确回答应该这样：O为AC的中点，三角形ABC为直角三角形且角C等于90度就可以了。