Question

已知四棱锥E-ABCD的地面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=根号2，

（1）：平面EAB⊥平面ABCD
（2）：求二面角A-EC-D的余弦值

Answer 1

第一个问题：
取AB的中点为F。
∵AE＝BE＝√2、AB＝2、F∈AB且AF＝BF，∴AF＝BF＝1、EF⊥BF，
∴由勾股定理，有：BF＝√（BE^2－BF^2）＝√（2－1）＝1。

∵ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，又∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，又F∈AB且AF＝BF，
∴CF＝√3BF＝√3。

∵EC＝2、CF＝√3、EF＝1，∴EC^2＝CF^2＋EF^2，∴由勾股定理的逆定理，有：EF⊥CF。
∵EF⊥CF、EF⊥AB、CF∩AB＝F，∴EF⊥平面ABCD，而EF在平面EAB上，
∴平面EAB⊥平面ABCD。

第二个问题：
过A作平面AGH⊥EC分别交EC、DE于G、H。
∵ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2、AD∥BC，又∠ABC＝60°，∴∠DAF＝120°。
由余弦定理，有：DF^2＝AB^2＋AF^2－2AD×AFcos∠DAF＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7，
∴DF＝√7。
∵EF⊥平面ABCD，∴EF⊥DF，
∴由勾股定理，有：DE＝√（DF^2＋EF^2）＝√（7＋1）＝2√2。

∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2。
由余弦定理，有：
cos∠AEG＝（AE^2＋EC^2－AC^2）/（2AE×EC）＝（2＋4－4）/（2×√2×2）＝√2/4。
∵EG⊥平面AGH，∴EG⊥AG，∴EG/AE＝cos∠AEG＝√2/4，∴EG＝（√2/4）AE＝1/2，
∴由勾股定理，有：AG＝√（AE^2－EG^2）＝√（2－1/4）＝√7/2。

∵ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，又EC＝2、DE＝2√2，∴DE^2＝CD^2＋EC^2，
∴由勾股定理的逆定理，有：CD⊥EC，而CD＝EC，∴∠GEH＝45°。
∵EG⊥平面AGH，∴EG⊥GH，又∠GEH＝45°，∴GH＝EG＝1/2、EH＝√2/2。

由余弦定理，有：
cos∠AED＝（DE^2＋AE^2－AD^2）/（2DE×AE）＝（8＋2－4）/（2×2√2×√2）＝6/8＝3/4。
由余弦定理，有：
AH^2＝EH^2＋AE^2－2EH×AEcos∠AED＝1/2＋2－2×（√2/2）×√2×（3/4）＝1。
由余弦定理，有：
cos∠AGH＝（AG^2＋GH^2－AH^2）/（2AG×GH）＝（7/4＋1/4－1）/［2×（√7/2）×（1/2）］
　　　　 ＝1/（√7/2）＝2√7/7。

∵AG⊥CE、HG⊥CE、H∈DE，∴∠AGH＝二面角A－CE－D的平面角，
∴二面角A－CE－D的余弦值为 2√7/7。

Answer 2

解：取AB中点F，连接CF,EF。则EF垂直AB,CF垂直AB,
由∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=根号2，得EF=1，CF=根号3，从而CF垂直EF
所以EF垂直平面ABCD，
EF属于平面EAB，因此平面EAB⊥平面ABCD