Question

设函数f(x)=x2+aln(x+1)+1/2ln2(1)求单调区间（2）若函数有两个极值点x1，x2，（x1<x 2）,求证f（x2）>1/4

Answer 1

函数f(x)=x2+aln(x+1)+1/2ln2的定义域为(-1,+∞)
（1）f‘(x)=2x+[a/(x+1)]=(2x^2+2x+a)/(x+1)=[2(x+1/2)^2+a-1/2]/(x+1)
1，当a≥1/2时，2(x+1/2)^2+a-1/2>0，此时f‘(x)>0，f(x)在(-1,+∞)上单调递增；
2，当a<1/2时，f‘(x)=0有两个解x1=[-1+√(1-2a)]/2，x2=[-1-√(1-2a)]/2，有x1>x2
①当x2=[-1-√(1-2a)]/2>-1，即0<a<1/2时，-1<x2<x1，此时f(x)在(-1,x2)∪(x1,+∞)上单调递增，在(x2,x1)上单调递减；
②当x2=[-1-√(1-2a)]/2<-1，即a<0时，x2<-1<x1，此时f(x)在(x1,+∞)上单调递增，在(-1,x1)上单调递减；
③当x2=[-1-√(1-2a)]/2=-1，即a=0时，f‘(x)=2x>0，此时f(x)在(-1,+∞)上单调递增。
（2）不好意思，开始时没有看下一问，所以，这一题的x1和x2与(1)中的x1和x2相反
要使函数f(x)有两个极值点，有(1)中可以看出只有“当x2=[-1-√(1-2a)]/2>-1，即0<a<1/2时，
-1<x2<x1，此时f(x)在(-1,x2)∪(x1,+∞)上单调递增，在(x2,x1)上单调递减”这个符合要求
此时x2=[-1+√(1-2a)]/2，f(x2)=[1-a-√(1-2a)]/2+a*ln{[1+√(1-2a)]/2}+1/2*ln2=g(a)
因为0<a<1/2，所以可以看出g(a)在(0,1/2)上单调递减
那么g(a)min=g(1/2)=1/4+1/2*ln(1/2)+1/2*ln2
=1/4
所以g(a)>1/4，即f(x2)>1/4