Question

关于向量的数学题（在线等，急急急~在此先谢谢大家了）

❶A,B,C是平面内的三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,试证明：存在实数λ，使得向量PC=λ向量PA+﹙1-λ）向量PB.
❷设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB，AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若向量AP=m向量AB，向量AQ=n向量AC，试探究：1/m+1/n的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

Answer 1

、证明：
以下过程能够中如果不加说明，线段均表示向量，如AB表示向量AB；
(1)若 C与A点重合，则 PC = 1*PA + (1-1)*PB；λ=1；
(2)若 C与B点重合，则 PC = 0*PA + (1-0)*PB；λ=0；
(3)若 C 与AB均不重合，由于C点在直线AB上，可设 AC = m*AB (m为m≠0, m≠1的实数)
则：BC = -( AB - AC) = (m-1)*AB
PC = PA + AC = PA + m*AB； ==> AB = (PC-PA)/m；
PC = PB + BC = PA + (m-1)*AB；==> AB = (PC-PB)/(m-1)；
两式联立可得：
(PC-PA)/m = (PC-PB)/(m-1)；
==> PC = (1-m)PA +m*PB；
令 λ = 1-m 则等式化为：
PC = λ*PA+(1-λ)*PB
综合(1)(2)(3)，.
对于直线AB上任意点C，存在实数λ，使得向量PC=λ向量PA+﹙1-λ）向量PB.

2、解：设 AD是BC边上的中线；则有 向量 AD = (AB+AC)/2
AG = 2/3 *AD = (AB+AC)/3；
由于 P、G、Q三点共线，且G与PQ不重合，由1结论，必存在实数λ(λ≠0, λ≠1), 使
AG = λ*AP + (1-λ)AQ
==> (AB+AC)/3 = λm*AB + (1-λ)n*AC
==> (1-3λm)* AB = [ 3(1-λ)n -1] *AC
由于 AB，AC为三角形的两边，是不共线的向量，要使等式成立，只有：
(1-3λm) = 0； ==> 1/m = 3λ
且：3(1-λ)n -1 =0；==> 1/n = 3-3λ
∴ 1/m + 1/n = 3；
结论：
1/m+1/n 为定值，这个定值为 3；

Answer 2

证明：❶设向量CB=λ向量AB，则AC=(1-λ)向量AB,向量PC==向量PA+向量AC=向量PA+(1-λ)向量AB=向量PA+(1-λ)(向量AP+向量PB)=λ向量PA+(1-λ)PB。命题得证。
❷这种开放性命题，你可以从极端情况考虑，先探究结论。比如P为中点，Q与C重合，此时，很容易知道1/m+1/n=3，再考虑PQ//BC，此时，m=n=2/3,因此我们可以预测1/m+1/n为定值3.剩下的就是怎么证明。运用❶的结论，3向量AG=向量AM=向量1/mAP+1/n向量AQ所以1/3m+1/3n=1
所以1/m+1/n=3

Answer 3

❶A,B,C是平面内的三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,试证明：存在实数λ，使得向量PC=λ向量PA+﹙1-λ）向量PB.
❷设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB，AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若向量AP=m向量AB，向量AQ=n向量AC，试探究：1/m+1/n的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

Answer 4

两道题么？

追问

对