Question

已知等比数列{an}是是各项均为正数的递增数列，数列{bn}满足bn=㏒2an，且b1+b2+b3=3，b1*b2*b3=-3，求通项

已知等比数列{an}是是各项均为正数的递增数列，数列{bn}满足bn=㏒2an，且b1+b2+b3=3，b1*b2*b3=-3，求通项{an}

Answer 1

设等比数列{an}的公比为q，q>0
∵bn=㏒2an，且b1+b2+b3=3
∴㏒2a1+㏒2a2+㏒2a3 = ㏒2(a1*a2*a3)=3
∴a1*a2*a3=a2^3=2^3
∴a2=2
∵b1*b2*b3=-3
∴㏒2a1*㏒2a2*㏒2a3=㏒2a1*㏒2a3=-3
∴㏒2(a2/q)*㏒2(a2*q)=-3,
(1-㏒2q)(1+㏒2q)=-3,
1-(㏒2q)^2=-3,
(㏒2q)^2=4,
㏒2q=±2，
q=2^(±2)。
∴q=4或q=1/4
当q=4时，a1=1/2,an=1/2*(4)^(n-1)=1/2*(2)^(2n-2)=(2)^(2n-3);
当q=1/4时，a1=8,an=8*(1/4)^(n-1)=(1/2)^(-3)*(1/2)^(2n-2)=(1/2)^(2n-5)

Answer 2

an为等比数列

由于bn=log2an，则bn为等差数列，设bn公差为d

则 b1+b2+b3=3 推出 3b1+3d=3 进而 d=1-b1

再由题：b1b2b3=-3 推出b1^3+3*d*b1^2+2*d^2*b1=-3

于是可以解得b1=-1或b1=3
若b1=-1
d=1-b1=2，b2=b1+d=1；
a1=0.5，a2=2；
所以公比为4
an=0.5*4^n;

若b1=3
d=1-b1=-2,b2=b1+d=1
a1=8,a2=2;
所以公比为0.25；
an=8*(0.25)^n

说明：
题中说an各项均为正数，则公比为正数，是为了保证log2q有意义而已