Question

【懂数学的高人快来吧！快来吧！】急急急急急急，麻烦数学高人帮忙再详细解释一遍一道题的解答过程,谢谢

如题：（文科.8）已知圆C：(x²/a²)+(y²/b²)=1(a＞b＞0）的左焦点F及点A（0，b)，原点O到直线FA的距离为(√2)/2b，求椭圆C的离心率。

参考解答过程为：由点F（-ae,0),点A（0，b)及b=[√(1-e²)]a得直线FA的方程为
[x/(-ae)]+[y/（【√(1-e²)】a）]=1,即[√(1-e²)]x-ey+ae√(1-e²)=0,∴原点O到直线FA的距离为
(√2)/2b=a√[(1-e²)/2],∴[ae√(1-e²)]/√(1-e²+e²)=a√[(1-e²)/2],解得e=(√2)/2.故椭圆C的离心率e=(√2)/2

PS :对于该题（如此精炼）的参考过程，我看不明白╮(╯▽╰)╭！点F的坐标为什么是（-ae,0)，b为什么等于[√(1-e²)]a，还有后面的诸如
“[√(1-e²)]x-ey+ae√(1-e²)=0.....[ae√(1-e²)]/√(1-e²+e²)=a√[(1-e²)/2]......”等，（这其中的化简与转换，鄙人都不太明白是怎样得来的。╮(╯▽╰)╭悲催啊，整个解题过程貌似很复杂，需要化简很多次，可惜我的数学没学好啊！！！跪求数学高手帮忙再详细解释一遍该题的参考解答，急急急急急急，跪谢啊！！！！！！

Answer 1

解释原答案：
∵e＝c/a，∴c＝ae，∴椭圆的左焦点坐标为F（－ae，0）。
由椭圆方程x^2/a^2＋y^2/b^2＝1，得：c＝√（a^2－b^2），又c＝ae，
∴ae＝√（a^2－b^2），∴a^2e^2＝a^2－b^2，∴b^2＝a^2－a^2e^2，∴b＝a√（1－e^2）。
∴点A的坐标为（0，a√（1－e^2））。
∴由直线方程的截距式，得：FA的方程为x/（－ae）＋y/［a√（1－e^2）］＝1，
去分母，移项，得FA的一般式方程为：［√（1－e^2）］x－ey＋ae√（1－e^2）＝0。
∴原点O（0，0）到直线FA的距离＝｜ae√（1－e^2）｜/［（1－e^2）＋（－e）^2］＝√2b/2，
∴ae√（1－e^2）＝√2a√（1－e^2）/2，∴e＝√2/2。

简单的解法：
S(Rt△AOF)＝（1/2）｜AO｜｜FO｜＝（1/2）｜AF｜ ×（√2/2）b，
显然，｜AO｜＝b、｜FO｜＝c、｜AF｜＝a，∴bc＝（√2/2）ab，∴c/a＝√2/2。
∴e＝c/a＝√2/2。

Answer 2

【最简单的解】
△AOC面积=bc/2=OA*AC/2=a(√2)/2b/2
c=a(√2)/2
e=c/a==√2/2

追问

O(∩_∩)O谢谢，△AOC？？请问您能详细说说上题参考过程的解答吗？

Answer 3

△AOC面积=bc/2=OA*AC/2=a(√2)/2b/2
c=a(√2)/2
e=c/a==√2/2

Answer 4

AOC面积:bc/2=OA*AC/2=a(√2)/2b/2

c=a(√2)/2

e=c/a=√2/2

Answer 5

最简单的办法，在三角形AFO中用一次等面积法，求出c的长度，然后求出a的长度，就知道a了，也就知道e了

Answer 6

最简单的解：
AOC面积=bc/2=OA*AC/2=a(√2)/2b/2
c=a(√2)/2
e=c/a==√2/2