Question

求解析数学题 如果x＝acost要怎么做 一直算不对

Answer 1

令x=acost
∫√(a²-x²)dx
=∫√(a²-a²cos²t)d(acost)
=∫-a²sin²tdt
=½a²∫(cos2t-1)dt
=¼a²sin2t-½a²t +C

追问

可是最后2分之一是加号

就是卡在这里

追答

不定积分，不同的计算方法，得到的结果不一致是正常的，都是积分常数不相等。

令x=acost
∫√(a²-x²)dx
=∫√(a²-a²cos²t)d(acost)
=∫-a²sin²tdt
=½a²∫(cos2t-1)dt
=¼a²sin2t-½a²t +C
=½a²sintcost-½a²t +C
=½a²[√(a²-x²)/a](x/a)-½a²arccos(x/a) +C
=½x√(a²-x²)-½a²[π/2-arcsin(x/a)] +C
=½x√(a²-x²)+½a²arcsin(x/a)+C -¼πa²
和书上的积分结果相差¼πa²，这是因为积分常数不相等的缘故。
积分常数C可为任意实数，因此可将C-¼πa²换成C，就得到书上的积分结果：½x√(a²-x²)+½a²arcsin(x/a)+C

追问

好的 谢谢😊