Question

等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2，前n项和为Sn．

设等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2，前n项和为Sn．
(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 证明： n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．

Answer 1

解：{an}的首项a1为a，公差d＝2
Sn=na1+n（n-1)/2×d=na+n（n-1)/2×2=na+n（n-1)
S1=a，S2=2a+2，S4=4a+12，
S1，S2，S4成等比数列
（2a+2）×2a+2）=a×（4a+12），解得：a=1
an=1+(n-1)×2，即 an=2n+1
证明（2）因为a=1
sn=n×1+n（n-1）=n²
Sn＋1=（n+1)²=n²+2n+1，
Sn＋2=（n+2)²=n²+4n+4
（n²+2n+1）²不等于 n²×（ n²+4n+4）
即(Sn＋1）²不等于sn×Sn＋2
n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列。

Answer 2

解：(1)因为等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2
所以 Sn=na1+n（n-1)/2×d=na+n（n-1)/2×2=na+n（n-1)
S1=a，S2=2a+2，S4=4a+12，
因为 S1，S2，S4成等比数列
所以（2a+2）×2a+2）=a×（4a+12），解得：a=1
数列{an}的通项公式为：an=1+(n-1)×2，即 an=2n+1
证明（2）因为a=1
所以 sn=n×1+n（n-1）=n²
所以 Sn＋1=（n+1)²=n²+2n+1，
Sn＋2=（n+2)²=n²+4n+4
（n²+2n+1）²不等于 n²×（ n²+4n+4）
即(Sn＋1）²不等于sn×Sn＋2
所以n∈N*, Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列。

Answer 3

(I)S1、S2、S4呈等比数列，则S1*S4=(S2)^2，那么S1=a,S2=a+2,S4=a+6,于是，a*(a+6)=(a+2)^2,因此，6a=4a+4，所以a=2,{an}的通项公式为：a(n)=2+2(n-1)=2n.
(II)Sn=2n(n+1),S(n+1)=2(n+1)(n+2),S(n+2)=2(n+2)(n+3);运用反证法证明，若三者形成等比数列，则S(n)*S(n+2)=[S(n+1)]^2,于是2n(n+1)*2(n+2)(n+3)=[2(n+1)(n+2)]^2,因此n(n+3)=(n+1)(n+2),于是推出2=0，因此这样Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列