Question

已知椭圆r:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点依次为F1，F2点M(0,2)是椭圆的一个顶点，

已知椭圆r:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点依次为F1，F2点M(0,2)是椭圆的一个顶点，向量MF1×向量MF2=0
（1）求椭圆r方程
（2）在椭圆上是否存在两点P,Q使向量PQ=向量PF1+向量PO（O为原点），若存在求出这两点，若不存在说明理由。
（3）斜率为根号2/2的直线经过点F2该直线交椭圆于R,S两点，试在y轴上找一点T使|TR|=|TS|

Answer 1

向量MF1×向量MF2=0应该是向量MF1·向量MF2=0，向量MF1×向量MF2=0表示两向量平行（相交于无穷远点，而M相对于F1、F2是有限远点）
(1)显然：b=2，而向量MF1·向量MF2=0则MF1⊥MF2，于是△F1MF2是等腰直角三角形，从而c=2，于是a^2=8，椭圆r方程：x^2/8+y^2/4=1；
(2)向量PQ=向量PF1+向量PO可知：四边形PF1QO是平行四边形，点(-1,0)是OF1的中点，也就是PQ的中点，设P为(x0，y0)，则由定比分点可得Q为(-x0-2，-y0)，把P、Q带人椭圆方程可以解得P、Q为(-1，√2/2)；
(3)显然T是线段RS的中垂线与y轴的交点
直线RS：y=√2/2(x-2)，带入椭圆方程解得：x1+x2=2，于是y1+y2=-√2
∴线段RS的中点为(1,，-√2/2)
线段RS的中垂线：y+√2/2=-√2(x-1)，令x=0，得：y=-3√2/2，即T为(0，-3√2/2)