Question

求解一个求极限高数题

Answer 1

因为lim<x→0>(1+x)^(1/x)=e
所以，原式属于“0/0”，由罗必塔法则有：
原式=lim<x→0>[(1+x)^(1/x)]'………………………………①
令y=(1+x)^(1/x)
==> lny=(1/x)ln(1+x)=[ln(1+x)]/x
==> (1/y)y'=[(1/1+x)·x-ln(1+x)]/x²=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²
==> y'={[x-(1+x)ln(1+x)]/x²}·y
代入①即得，原式=lim<x→0>{[x-(1+x)ln(1+x)]/x²}·(1+x)^(1/x)
=e·lim<x→0>[x-(1+x)·ln(1+x)]/x²
=e·lim<x→0>[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=(-e/2)·lim<x→0>[ln(1+x)]/x
=(-e/2)·lim<x→0>1/(1+x)
=-e/2

Answer 2

设速度为v，则单位油耗P=kv³（k＞0，k为常数）

设甲乙之间的距离为S（S为常数），那么逆流到达需要的时间t=S/(v-a)
所以，总油耗M=kv³·[S/(v-a)]
==> M'=Sk·[3v²(v-a)-v³]/(v-a)²=Skv²[3(v-a)-v]/(v-a)²
=Skv²(2v-3a)/(v-a)²
当v＞3a/2时，M'＞0，M单调递增；当0＜v＜3a/2时，M'＜0，M单调递减
所以，当v=3a/2时有极小值。