Question

点P是正方形ABCD边AB边上一点，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90，得到线段PE，PE交BC于点F，连接BE

，连接BE，DF(1)若∠ADP=15°，求∠EPB度数与tan∠E的值
当AP/AB的值等于多少时，△PFD∽△BFP,说明理由

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是正方形，∴AD⊥AP，∴∠ADP＋∠APD＝90°。······①
∵DP⊥EP，∴∠EPB＋∠APD＝90°。······②
由①、②，得：∠EPB＝∠ADP＝15°。

第二个问题：
∵ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠PBD＝45°。
∵DP⊥EP、DP＝EP，∴∠DEP＝45°。
∵∠PBD＝∠DEP＝45°，∴D、P、B、E共圆，∴∠PEB＝∠PDB＝∠ADB－∠ADP＝30°，
∴tan∠PEB＝tan30°＝√3/3。

第三个问题：
∵ABCD是正方形，∴∠DAP＝∠PBF＝90°，又∠BPF＝∠ADP，∴△BFP∽△APD，
∴PB/AD＝PF/PD。

∵△BFP∽△APD，∴当△PFD∽△BFP时，有：△PFD∽△APD，而∠DPF＝∠DAP＝90°，
∴PF/PD＝AP/AD，或PF/PD＝AD/AP。

一、当PF/PD＝AP/AD 时，结合证得的PB/AD＝PF/PD，得：AP＝PB，∴AP/AB＝1/2。
二、当PF/PD＝AD/AP 时，结合证得的PB/AD＝PF/PD，得：AD/AP＝PB/AD，
　　∴AD^2＝AP×PB。
　　过P作PQ⊥AB交CD于Q，由AD^2＝AP×PB，得∠AQB＝90°。·····③
　　令AC与BD相交于O，过O作MN∥AB分别交AD、BC于M、N。
　　∵ABCD是正方形，∴AO⊥BO。
　　很明显，MN是以AB为直径的圆弧的切线，∴∠AQB是以AB为直径的圆的圆外角，
　　∴∠AQB＜90°。······④
　　由③、④，得：PF/PD＝AD/AP是不能成立的。

综上一、二所述，得：当AP/AB＝1/2时，△PFD∽△BFP。