Question

求微分方程y〃=x-2y′的通解 过程 要有详细过程啊。不能因为我是新人而随便糊弄一下啊

Answer 1

解：即y''+2y'=x,先求齐次方程通解，特征方程为m^2+2m=0,得m=0,-2,故齐次方程通解为y=C1+C2e^(-2x),
在方程右端，e的指数是0，而0是特征方程的解，所以方程有形如y1=x(Ax^2+Bx+C)的特解，代入方程得(6Ax+2B)+2(3Ax^2+2Bx+C)=x,即6Ax^2+(6A+4B)x+(2C+2B)=x,故6A+4B=1,A=0,2C+2B=0,得B=1/4,C=-1/4,即方程解为y=C1+C2e^(-2x)+1/4x^2-1/4x

Answer 2

设p=y'
则原方程化为p'+2p=x
这是一个关于p的一阶线性方程
直接套用公式可以得到p=x/2-1/4+C1e^(-2x)
直接积分得 y=x²/4-x/4-[C1e^(-2x)]/2+C2