Question

设等比数列｛an｝公比为q，前n项和Sn>0（n＝1，2，3…）(1)求q的取值范围？

Answer 1

a(n)
=
aq^(n-1),
a
=
a(1)
=
S(1)
>
0,
q
=
1时，S(n)
=
na
>
0.满足要求。
q不等于1时，
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1).
q>1时，q^n-1>0,q-1>0,
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1)
>0.
满足要求。
-1<q<1时，q^n
-
1
<
0,
q
-
1
<
0,
满足要求。
q
=
-1时，S(2m)
=
a[(-1)^(2m)
-
1]/(-1-1)
=
0,不满足要求。
q
<
-1时，S(2m)
=
a[q^(2m)
-
1]/(q-1)
=
a[(q^2)^m
-
1]/(q-1),
(q^2)^m
-
1
>
0,
q
-
1
<
0,
S(2m)
<
0,
不满足要求。
因此，
q的取值范围为q>-1.
b(n)
=
a(n+2)
-
1.5a(n+1)
=
aq^(n+1)
-
1.5aq^n
=
aq^n[q-1.5].
q
=
1时，b(n)
=
a(-0.5),
T(n)
=
-na/2,
S(n)
=
na
>
-na/2
=
T(n).
q
>
-1且q不等于1时，T(n)
=
aq(q-1.5)[q^n-1]/(q-1),
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1).
T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1)[q(q-1.5)
-
1]
=
a[q^n-1][2q^2
-
3q
-
2]/[2(q-1)]
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
-1
<
q
<
-1/2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
>
0,
T(n)
>
S(n).
q
=
-1/2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
=
0,
T(n)
=
S(n).
-1/2
<
q
<
1时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
<
0,
T(n)
<
S(n).
1
<
q
<
2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
<
0,
T(n)
<
S(n).
q
=
2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
=
0,
T(n)
=
S(n).
q
>
2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
>
0,
T(n)
>
S(n).
综合，有
-1
<
q
<
-1/2时，T(n)
>
S(n).
q
=
-1/2时，T(n)
=
S(n).
-1/2
<
q
<
2时，T(n)
<
S(n).
q
=
2时，T(n)
=
S(n).
q
>
2时，T(n)
>
S(n).

Answer 2

a(n)
=
aq^(n-1),
a
=
a(1)
=
S(1)
>
0,
q
=
1时，S(n)
=
na
>
0.满足要求。
q不等于1时，
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1).
q>1时，q^n-1>0,q-1>0,
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1)
>0.
满足要求。
-1<q<1时，q^n
-
1
<
0,
q
-
1
<
0,
满足要求。
q
=
-1时，S(2m)
=
a[(-1)^(2m)
-
1]/(-1-1)
=
0,不满足要求。
q
<
-1时，S(2m)
=
a[q^(2m)
-
1]/(q-1)
=
a[(q^2)^m
-
1]/(q-1),
(q^2)^m
-
1
>
0,
q
-
1
<
0,
S(2m)
<
0,
不满足要求。
因此，
q的取值范围为q>-1.q是公比故不为0
b(n)
=
a(n+2)
-
1.5a(n+1)
=
aq^(n+1)
-
1.5aq^n
=
aq^n[q-1.5].
q
=
1时，b(n)
=
a(-0.5),
T(n)
=
-na/2,
S(n)
=
na
>
-na/2
=
T(n).
q
>
-1且q不等于1时，T(n)
=
aq(q-1.5)[q^n-1]/(q-1),
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1).
T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1]/(q-1)[q(q-1.5)
-
1]
=
a[q^n-1][2q^2
-
3q
-
2]/[2(q-1)]
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
-1
<
q
<
-1/2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
>
0,
T(n)
>
S(n).
q
=
-1/2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
=
0,
T(n)
=
S(n).
-1/2
<
q
<
1时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
<
0,
T(n)
<
S(n).
1
<
q
<
2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
<
0,
T(n)
<
S(n).
q
=
2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
=
0,
T(n)
=
S(n).
q
>
2时，T(n)
-
S(n)
=
a[q^n-1][2q+1][q-2]/[2(q-1)]
>
0,
T(n)
>
S(n).
综合，有
-1
<
q
<
-1/2时，T(n)
>
S(n).
q
=
-1/2时，T(n)
=
S(n).
-1/2
<
q
<
2时，T(n)
<
S(n).
q
=
2时，T(n)
=
S(n).
q
>
2时，T(n)
>
S(n).